Utforske andregradsfunksjoner 2

Andregradsfunksjon, nullpunkt, ekstremalpunkt, GeoGebra, algebra.

PC med GeoGebra. Elevene kan gjerne dokumentere prosessen elektronisk, for eksempel i et Word-dokument med bilder av arbeidet i GeoGebra.

Aktivitetene bygger på oppgaver hentet fra https://undergroundmathematics.org/quadratics/geogebra-constructions-quadratic.

Utgangspunktet for opplegget er de tre ulike uttrykk som alle representerer en andregradsfunksjon:

1. `f(x)=ax^(2)+bx+c`
2. `f(x)=k(x-r)(x-s)`
3. `f(x)=t(x-m)^(2)+n`

Opplegget krever at elevene kjenner fordelene til de ulike skrivemåtene, og dette har de jobbet grundig med i Utforske andregradsfunksjoner 1. For eksempel at de kan lese av konstantleddet direkte fra uttrykk 1, at de kan lese av nullpunktene fra uttrykk 2 og at de kan lese av ekstremalpunktet fra uttrykk 3.

Elevene åpner en ny fil i GeoGebra når de starter på en ny aktivitet. Det er viktig for å unngå konflikter med bruk av bokstaver.

Aktivitet 1

Dette opplegget krever bruk av algebra og gode kunnskaper i GeoGebra. Vi anbefaler derfor at klassen gjennomfører denne aktiviteten i fellesskap slik at alle elevene er kjent med hvordan de skriver inn punkter i et funksjonsuttrykk i GeoGebra.

• Åpne GeoGebra.
• Sett et punkt A på y-aksen.
• Tegn en andregradsfunksjon som går gjennom punktet og som følger med når du flytter på punktet.

Kommentarer til læreren

Elevene kan gjerne forsøke litt selv først. De vet at en funksjon `f(x)=ax^(2)+bx+c` skjærer y-aksen i punktet (0, c), men utfordringen er å bruke GeoGebra slik at grafen «henger fast» i punktet elevene har valgt. Mange elever vil skrive inn funksjonen, lage glidere og flytte på gliderne til funksjonen går gjennom punktet. Men da vil ikke grafen følge med når elevene flytter på punktet.

Elevene må i stedet knytte y-verdien til punktet på y-aksen med c-verdien i funksjonsuttrykket. Det gjør de ved å skrive `f(x)=ax^(2)+bx+y(A)`  og lage glidere for a og b.  I GeoGebra gir y(A) y-verdien til punkt A og x(A) gir x-verdien til A. Grafen følger med når elevene beveger på punktet.

Aktivitet 2

Elevene skal tegne en andregradsfunksjon som går gjennom to punkter som ligger på x-aksen. Når de beveger på punktene, skal grafen fortsatt gå gjennom begge punktene.

Elevene får oppdraget muntlig (og eventuelt også skrevet opp på tavla):

• Tegn to punkter A og B på x-aksen.
• Tegn en andregradsfunksjon som går gjennom punktene A og B.
• Flytt på punktene A og B. Oppgaven er riktig løst hvis grafen følger med.

Kommentarer til læreren

I denne aktiviteten skal elevene lage en andregradsfunksjon som går gjennom to nullpunkter. Elevene er mest vant til å få oppgitt andregradsfunksjonen, mens i denne aktiviteten skal de finne en andregradsfunksjon som passer til to punkter på x-aksen. Dette er en innfallsvinkel som kan gi elevene en dypere forståelse av andregradsfunksjoner.

De fleste elevene vet at nullpunkter er punkter hvor y-verdien er null, men mange vil ha problemer med å bruke den informasjonen når de skal løse oppgaven i GeoGebra. Her må elevene bruke det de har lært i aktivitet 1 for at grafen skal følge etter.

Hvis elevene skal lage en andregradsfunksjon som går gjennom to nullpunkter, er det lettest å ta utgangspunkt i det andre uttrykket for andregradsfunksjoner, nemlig `f(x)=k(x-r)(x-s)` hvor r er x-verdien til nullpunkt A (r, 0) og s er x-verdien til nullpunkt B (s, 0). Parameter k kan de ikke erstatte og den blir derfor en glider. Det kan være interessant for elever som blir raskt ferdig å se hva som skjer når k endrer verdi. Noen elever vil bli overrasket over å se at det finnes uendelig mange grafer som går gjennom de to punktene på x-aksen.

Hvis elever tar utgangspunkt i uttrykk 1 eller 3, bør læreren be de om å studere fordelene til de forskjellige uttrykkene igjen for å finne det som er mest hensiktsmessig.

Forslag til fremgangsmåte:

• Tegn to punkter A og B på x-aksen.
• Punktene skal være nullpunkter til en andregradsfunksjon og da må `f(x)=k(x-r)(x-s)` , der r er x-verdien til punkt A og s er x-verdien til punkt B.

Funksjonen blir dermed: `f(x)=k(x-x(A))(x-x(B))`. Parameter k blir til en glider.

• Skriv inn funksjonen i GeoGebra og sjekk at funksjonen fortsatt går gjennom punktene A og B når du flytter på punktene.

Aktivitet 3

I denne aktiviteten skal elevene tegne en andregradsfunksjon som går gjennom to punkter på x-aksen og ett punkt på y-aksen. Når de beveger på punktene, skal grafen fortsatt gå gjennom de tre punktene.

Elevene får oppdraget muntlig (og eventuelt også skrevet opp på tavla):

• Tegn to punkter på A og B på x-aksen og punkt C på y-aksen.
• Tegn en andregradsfunksjon som går gjennom punktene A, B og C.
• Flytt på punktene A, B og C. Oppgaven er riktig løst hvis grafen følger med.

Kommentarer til læreren

I denne aktiviteten vil mange elever ta utgangspunkt i resultatet fra aktivitet 2. De har antakeligvis oppdaget at k-verdien endrer krumningen til grafen, og dermed også hvor grafen krysser y-aksen. Elevene må finne ut hvilken k-verdi som gjør at grafen krysser y-aksen i punkt C, og da må de bruke algebra. Hvis elevene står fast, kan læreren hjelpe dem til å finne sammenhengen mellom y-verdien til funksjonen når x = 0 og y-koordinaten til punkt C.

I motsetning til grafen i aktivitet 2, er denne grafen entydig. Elever som trenger utfordringer kan gjerne forklare hvorfor det er slik.

Forslag til fremgangsmåte:

• Tegn punktene A (r, 0) og B (s, 0) på x-aksen og punkt C (0, c) på y-aksen.
• Punktene A og B skal fortsatt være nullpunkter til en andregradsfunksjon og da må `f(x)=k(x-r)(x-s)`, der r er x-verdien til punkt A og s er x-verdien til punkt B. Verdien til k forteller hvor mye grafen bøyer seg, og elevene skal finne k som gjør at krumningen blir slik at grafen går gjennom punkt C (0, c) på y-aksen. Vi setter x = 0 og f(0) = c. Det gir ligningen: c = k(0-r)(0-s) som forenkles til `k = (c)/(rs)`.
• Funksjonen blir dermed: `f(x)=(y(C))/(x(A)·x(B))(x-x(A))(x-x(B))`
• Skriv inn funksjonen i GeoGebra og sjekk at funksjonen fortsatt går gjennom punktene A, B og C når du beveger på punktene.

Aktivitet 4

Elevene skal nå finne en andregradsfunksjon som har punkt A som ekstremalpunkt. Grafen skal følge etter når elevene flytter punktet.

Elevene får oppdraget muntlig (og eventuelt også skrevet opp på tavla):

• Tegn ett punkt A.
• Tegn en andregradsfunksjon som har punkt A som ekstremalpunkt.
• Flytt på punkt A. Oppgaven er riktig løst hvis grafen følger med.

Kommentarer til læreren

Elevene har arbeidet med fordelene til uttrykket i Utforske andregradsfunksjoner 1, og nå skal de ta i bruk det de har lært. I denne aktiviteten er uttrykk 3 mest hensiktsmessig å bruke. Hvis elever tar utgangspunkt i uttrykk 1 eller 2, bør læreren be de om å studere fordelene til de forskjellige uttrykkene igjen for å finne det som er mest hensiktsmessig.

Denne grafen er ikke entydig. Elevene kan finne nye grafer ved å endre på t-verdien.

Forslag til fremgangsmåte

• I uttrykket `f(x)=t(x-m)^(2)+n` er punkt (m, n) ekstremalpunktet til grafen,
• Lag et vilkårlig punkt A.
• `f(x)=t(x-x(A))^(2)+y(A)`er da en funksjon som har A som ekstremalpunkt. Parameter t blir til en glider.

Oppsummering

I oppsummeringen forteller elevgruppene hvordan de arbeidet, hvilke funksjonsuttrykk de brukte og hvorfor. Læreren setter fokus på hensiktsmessig bruk av de tre skrivemåtene for funksjonsuttrykket til en andregradsfunksjon.