Andregradsfunksjoner V

Funksjoner - nullpunkter og faktorisering

Dette opplegget er hentet fra heftet: "Undersøkende matematikk - undervisning i videregående skole" 

PC med GeoGebra (eller liknende programvare)

Her blir oppgavene til dette undervisningsopplegget presentert med kommentarer til læreren. Kopieringsoriginal til oppgavearkene.
Lærebøkene har i tillegg flere gode øvingsoppgaver til dette emnet.

Elevene skal arbeide i par. Det er viktig at du som lærer oppmuntrer til samtale og diskusjon mellom elevene. Det er også viktig at elevene skriver ned alle løsninger. I tabellene står fasitsvarene skrevet med rødt.

1 Tegn grafene til følgende to funksjoner i GeoGebra:
   f(x) = x² - 7x + 10       g(x) = (x - 2) (x - 5)

a Hva ser du? Hvorfor blir det slik?

b Hva er nullpunktene til de to funksjonene?
   Hva er sammenhengen mellom funksjonene f og g? Forklar hva du ser!

c Vi sier at funksjonen g er skrevet på faktorisert form. Hvorfor?

Kommentar til læreren
Snakk om hva faktorisert form betyr.

Det vil sikkert være store variasjoner i hvor lett elevene «tar» dette stoffet. Læreren må vurdere hvor ofte det passer med et skifte mellom elevarbeid/pararbeid og plenumssamtale. Prøv å få fram alt elevene har funnet ut på egen hånd, og bygg videre på det. Prøv så langt det er mulig, å lede dem gjennom et undersøkelsesarbeid hvor de oppdager sammenhenger
på egen hånd. Bruk samtidig plenumssamtalene til å avklare misforståelser og feil.

2 I det følgende skal vi studere denne sammenhengen nærmere:
 

Hva er sammenhengen mellom tallene s og t inne i parentesene og koeffisientene a, b og c?

a = 1          b = s + t            c = s · t

3 Mange ganger kan vi trenge å faktorisere andregradsuttrykk. Det er en måte å finne nullpunkter på. Det er også nyttig når vi har brøker eller brøkfunksjoner som inneholder andregradsuttrykk. Faktoriser andregradsuttrykkene nedenfor ved hjelp av det du lærte i oppgave 2:

4 Tegn grafene til funksjonene f og g nedenfor og sammenlikn nullpunktene:

   f(x) = x² - 2x - 3      g(x) = 2x² - 4x - 6

a Hva ser du? Hvorfor blir det slik? Skriv.

b Vi må vite hvordan vi skal faktorisere et andregradsuttrykk der a ikke er lik 1.    Bruk uttrykket for g (x) ovenfor, og sett 2 utenfor parentes:

   g(x) = 2(...............................................)

   Sammenlikn med uttrykket for f (x). Hva ser du? Forklar.

5 Faktoriser

   h(x) = 3x² + 3x - 60 = 3(..........................................) = 3(...................)(..................)

   k(x) = 7x² + 35x + 42 = 7(.........................................) = 7(.....................)(...................)

   m(x) = -2x² + 20x - 48 = -2(.......................................) = -2(.....................)(.....................)

6 Regelen kan skrives slik:
Hvis x = p og x = q er nullpunktene til en andregradsfunksjon, f(x) = ax² +bx + c kan f faktoriseres slik: f(x) = a(x - p)(x - q)

Lag to eksempler som viser at regelen stemmer.

Forberedelse til oppsummering og oppsummering
På hvilke måter har elevene løst oppgavene? Har de brukt ulike strategier? Snakk med elevene og hør hvordan de tenkte da de løste oppgavene.

Kommentar til læreren
Hva har elevene lært? Hva er sammenhengen mellom nullpunktene til en andregradsfunksjon og andregradsfunksjonen på faktorisert form? La elevene presentere sine løsninger, tanker og formuleringer.

Hvis du ser at noen elever har gjort noe du gjerne vil at de andre elevene skal få innblikk i, så kan du avtale med dem på forhånd at de skal komme til tavla under oppsummeringen. Det er et viktig grep, spesielt dersom elevene ikke er vant til å presentere løsningene sine på tavla. Det kan føles tryggere for elevene når de på forhånd vet at de skal komme på tavla,
og når de vet hva læreren ønsker at de skal presentere. Ved å avtale med noen elever på forhånd sikrer du at ulike metoder og strategier blir vist under oppsummeringen.