Andregradsfunksjoner III

Funksjoner - Areal og omkrets av rektangler

Dette opplegget er hentet fra heftet: "Undersøkende matematikk - undervisning i videregående skole"

Kvadratiske brikker

PC med GeoGebra (eller liknende programvare)

La elevene arbeide parvis. Det er viktig å oppmuntre til samtale og diskusjon om faglig arbeid. Elevene skal skrive ned det de oppdager, både med ord og matematiske symboler.

Opplegget går ut på at elevene lager ulike rektangler, alle med omkrets 24 enheter. Enenhet er sidelengden til én brikke. Målet er å komme fram til en funksjon som beskriver arealet av rektangelet som en funksjon av rektangelets lengde. Elevene legger rektangler med de kvadratiske brikkene, eventuelt kan de tegne rektangler på ruteark. (kopieringsoriginal med oppgaver)

Observasjonene samles i en tabell, der rektangelets lengde er x-verdien og arealet er y-verdien. Elevene kan løse oppgaven med papir og blyant, eller de kan bruke GeoGebra. Hvis de skal få nytte av det de lærte i opplegget «Andregradsfunksjoner – Å utforske sammenhengen mellom funksjonsuttrykk og graf», bør de bruke GeoGebra (eller liknende).

Avslutt med en oppsummering i plenum. Det er viktig at elevene utvikler en god forståelse av begrepene toppunkt og gyldighetsområde. Legg også vekt på gode beskrivelser av hva grafen forteller om rektanglene.

Differensiering
Oppgaven kan utfordre elever på ulike nivåer ved at ikke alle trenger å komme like langt i utforskningen. For noen elever kan det være stor nok utfordring å komme fram til alle punktene, plotte dem inn i et koordinatsystem, tegne en glatt, fin graf og se at den har parabelform. Andre kan komme mye lenger i oppgaven. Uansett er det viktig at samtlige elever er med på samtalen om sammenhengen med grafens form og arealet av de ulike rektanglene. Elever på alle nivåer bør får se at en graf kan fortelle noe om en konkret ting – og det er viktig at de ser hva grafen forteller i dette tilfellet.

Oppgave

1. Lag flere ulike rektangler som alle skal ha omkrets 24 enheter. Bruk kvadratiske brikker, la sidekanten i en brikke ha lengden 1 enhet. Skisser de ulike rektanglene du lager, og sett mål på sidene.
2. Lag en tabell med to rader, der lengden av rektanglene skrives i den ene raden (x-verdi) og arealet i den andre raden (y-verdi).

1. Kommentar til læreren
   Hvis dette er vanskelig for noen av elevene, kan du gi et hint ved å bruke et eksempel.
    
2. Vi skal bruke regresjon i GeoGebra:

   Først må tabellverdiene legges inn i regnearket. Velg «Vis»og «Regneark». Skriv x-verdiene fra tabellen ovenfor i den første kolonnen i regnearket og y-verdiene i den andre kolonnen.

   Marker så alle verdiene, høyreklikk og velg «Lag liste med punkter». I algebravinduet kommer så listen opp, den heter «liste 1». Samtidig tegnes alle punktene inn i koordinatsystemet.

   Det neste du skal gjøre er å skrive «RegPoly[liste1,2]» i inntastingsfeltet. Da får du det polynomet som passer best til punktene i liste1. 2-tallet viser at du ber om et andregradspolynom. Polynomet kommer nå opp i algebravinduet som en funksjon samtidig som grafen tegnes sammen med punktene.

   Kommentar til læreren
   Her må du som lærer vurdere om det er hensiktsmessig å bruke GeoGebra eller papir og blyant. Med papir og blyant er det lettere å få tegnet en graf, men vi mister muligheten til å få et funksjonsuttrykk. Hvis elevene ikke har mulighet til å klare overgangen fra å ha en rekke punkter til å tegne en graf, er det kanskje bedre å bare få tegnet grafen på papir.
   Merk: Elevene skal utforske og diskutere, og til slutt skal løsningene skrives. Det er en viktig
   øving i å uttrykke seg skriftlig i matematikk.
    

3. Finn et funksjonsuttrykk som passer godt til punktene.

   Kommentar til læreren
   Elevene må bruke regresjon. For å velge riktig type funksjon må elevene gjenkjenne grafens form som parabel. De må vite at den hører sammen med en andregradsfunksjon. La de flinke elevene få sjansen til å finne ut mest mulig på egen hånd.
    

4. Hva forteller grafen om de ulike arealene vi kan lage av rektangler med omkrets 24 enheter?
    
5. Hva er funksjonens gyldighetsområde, dvs. hvilke verdier kan den fri variable, her lengden l, ha?

 
Kommentar til læreren
Spør elevene hva den minste og største mulige verdien til lengden av rektangelet kan være. Gir det noen mening å bruke x-verdier utenfor disse størrelsene, for eksempel l = 20? Lengden l av rektangelet kan ikke være mindre enn 0 og ikke større enn 12, så gyldighetsområdet er intervallet 〈0,12〉eller 0<x>12.

Forberedelse til oppsummering og oppsummering
På hvilke måter har elevene løst oppgavene? Har de brukt ulike strategier? Snakk med elevene og hør hvordan de tenkte da de løste oppgavene. Fokuser på å lytte, spørre, diskutere, honorere gode løsninger, oppklare misforståelser og konkludere.

Det er viktig at elevene utvikler en god forståelse av begrepene toppunkt og gyldighetsområde. Legg også vekt på gode beskrivelser av hva grafen forteller om rektanglene.

Hvis du ser at noen elever har gjort noe du gjerne vil at de andre elevene skal få innblikk i, så kan du avtale med dem på forhånd at de skal komme til tavla under oppsummeringen. Det er et viktig grep, spesielt dersom elevene ikke er vant til å presentere løsningene sine på tavla. Det kan føles tryggere for elevene når de på forhånd vet at de skal komme til tavla, og når de vet hva læreren ønsker at de skal presentere. Ved å avtale med noen elever på forhånd sikrer du at ulike metoder og strategier blir vist under oppsummeringen.