Andregradsfunksjoner II

Funksjoner - Å utforske sammenhengen mellom funksjonsuttrykk og graf.

Dette opplegget er hentet fra heftet: "Undersøkende matematikk - undervisning i videregående skole"

PC med GeoGebra

Et nytt begrep elevene skal lære er ekstremalpunkt. For å få topp- eller bunnpunkt markert ved hjelp av dataprogrammet GeoGebra må man bruke kommandoen «ekstremalpunkt». Se pkt. 4 på elevarkene.

Arbeidsform
Utforskningsarbeidet gjøres med digitale hjelpemidler (GeoGebra), så elevene må arbeide med (hver sin) PC. La elevene arbeide to eller tre sammen, gjerne rundt én PC.Det vil stimulere samtalen, og det blir vanskeligere å «lure seg unna» med uvedkommende gjøremål på datamaskinen. Det er viktig å oppmuntre til samtale og diskusjon om faglig
arbeid. Elevene skal skrive ned det de oppdager, både med ord og matematiske symboler.

Undervisningsopplegget
På de neste sidene blir oppgavene til dette undervisningsopplegget presentert med kommentarer til læreren. Oppgavene finner du som kopieringsoriginal. Elevene arbeider med oppgavearkene gjennom hele økta.

Selv om det forutsettes at elevene er litt kjent med GeoGebra, er det tatt med en del forklaringer på hvordan programmet skal brukes i dette opplegget. Det er viktig at læreren har prøvd ut hele opplegget på forhånd. Læreren må vite nøyaktig hva som skal gjøres i de enkelte punktene, og tenke gjennom hvilke problemer som kan oppstå, så vel tekniske som faglige.

Det er viktig at elevene samarbeider. De kan hjelpe hverandre til å forstå, og de kan diskutere løsninger og hvordan de kan formulere seg skriftlig. Det er viktig at samtlige elever skriver – og tegner – underveis i arbeidet, på en slik måte at det er enkelt å finne notatene igjen og bruke dem når de senere fortsetter å arbeide med andregradsfunksjoner.

I oppgavene der elevene skal la en og en koeffisient variere, er det viktig å se nøye etter både hva som forandres på/med grafen, og hva som ikke forandres. Det kan være lurt å stoppe arbeidet iblant, første stopp kan være etter at de fleste har skrevet ned løsninger på pkt. 2. Hør på ulike ideer og forslag til løsninger, og sørg for at alle forstår hva vi mener når vi spør om "hva som forandres, og hva som ikke forandres".

Kommentar til læreren
Innled med å presentere læringsmålet for økta. Presenter deretter den generelle formen til andregradsfunksjonen. La elevene komme med forslag til verdier for a, b og c og skriv opp funksjonsuttrykkene dere får. Det er viktig å ta dette grundig. Her står a, b og c for ukjente tall som er faste, mens x står for ukjente tall som kan variere. Det kan ta litt tid å venne seg til slike skrivemåter. Bruk navnet koeffisient på a, b og c.

Den generelle formen til en andregradsfunksjon er f(x) = ax² +bx + c. Her står a, b og c for faste tall som vi setter inn i uttrykket, koeffisienter. I denne oppgaven skal vi velge mange ulike verdier for koeffisientene a, b og c, og se hvordan de ulike verdiene påvirker formen til funksjonens graf.

1. Forberedelse i GeoGebra:
   For å kunne variere verdien av a, b og c på en enkel måte må man først legge inn glidere. Velg Glider i nedtrekksmeny nr. 2 fra høyre. Når du så klikker i tegneflata, får du opp et vindu som lar deg velge navn på glider, intervall, animasjonstrinn med mer. Legg inn tre glidere, a, b og c.

   Du kan nå klikke på pilen øverst til venstre («flyttepilen»). Når du så peker på punktet på tallinja til a, kan du dra punktet fram og tilbake på linja og samtidig variere verdien til a. Tilsvarende for linjene til b og c. (Du kan forandre egenskapene til ei slik glidelinje ved å peke på den, høyreklikke og velge «egenskaper».)
    

2. Begynn med å skrive inn i inntastingsfeltet f(x) = a * x² +b * x + c etterfulgt av «enter». Da tegnes det en graf i koordinatsystemet.

   (Merk: Du må enten ha stjerne (multiplikasjon) eller mellomrom mellom x og en annen bokstav når du skriver i GeoGebra. («Opphøyd i andre» skrives Alt+2.) 
   Sørg så for at a = 1, b = 1 og c = 1, ved å flytte på gliderne på tallinjene. I algebravinduet står det nå f(x) = 1x² +1x +1.

   Velg "flyttepilen" og la verdien til c variere ved å skyve på punktet på glideren.

   Oppgave
   Hva skjer med grafen når verdien til c varierer mens verdiene til a og b holdes fast? Hva forandres? Og hva forandres ikke? Skriv ned det du observerer.

   Kontroll
   La a og b få andre verdier, og hold dem fast mens du lar verdien til c variere. Stemmer det du noterte, i alle tilfellene? Noter hva som eventuelt stemmer eller ikke stemmer.

   Kommentar til læreren
   Det er viktig at elevene formulerer svarene sine skriftlig. Her kan det være naturlig å stanse og høre hva elevene har skrevet. Du kan spørre elevene: «Hvorfor skrev du det slik?» Det er viktig at du stiller spørsmål både til elever som har tenkt riktig, og til elever som har misforstått. Pass på at alle forstår hva som er ment i kontrolloppgaven.
    

3. Ta på nytt utgangspunkt i grafen til f(x) = 1x² +1x +1. Denne gangen skal verdiene til b og c være fast, mens du lar verdien til a variere ved å bruke glideren.

   Oppgave
   Hva skjer med grafen når verdien til a varierer mens verdiene til b og c holdes fast? Hva forandres? Og hva forandres ikke? Skriv ned det du observerer.

   Kontroll
   La b og c få andre verdier, og hold dem fast mens du lar verdien til a variere. Stemmer det du noterte, i alle tilfellene? Noter hva som eventuelt stemmer eller ikke stemmer. Kommentar til læreren

   Det er tid for en ny oppsummering i plenum. Hva har de skrevet? Hvorfor? Stemmer reglene og systemet når de kontrollerer med andre verdier av b og c?
    

4. Ta enda en gang utgangspunkt i grafen til f(x) = 1x² +1x +1. Denne gangen skal verdiene til a og c være fast, mens du lar verdien til b variere ved å bruke glideren. 

   Oppgave
   Hva skjer med grafen når verdien til b varierer mens verdiene til a og c holdes fast? Hva forandres? Og hva forandres ikke? Skriv ned det du observerer.

   Vi kan bruke sporing til hjelp for å beskrive det som skjer med grafen når vi lar verdien til b variere: I kommandofeltet nederst til høyre finner du "Ekstremalpunkt". Klikk på det. Da står det i inntastingsfeltet "Ekstremalpunkt [ ]". Inne i klammeparentesen skriver vi funksjonens navn: [f ]. Det betyr at vi ber programmet markere ekstremalpunkt (= topp- eller bunnpunkt) på grafen til funksjonen f.

   Så peker vi på bunnpunktet på grafen, høyreklikker og velger "Slå på sporing". Nå kan du på nytt la b variere på glideren. Sporingen kan gjøre det lettere å beskrive hva som skjer med grafen når verdien til b varierer.

   Kontroll
   La a og c få andre verdier, og hold dem fast mens du lar verdien til b variere. Stemmer det du noterte, i alle tilfellene? Noter hva som eventuelt stemmer eller ikke stemmer.

   Kommentar til læreren
   Pass på at alle får til å sette på sporing. Når elevene bruker sporing, blir det for mange enklere å beskrive hva som skjer med grafen når verdien til b varierer. Har du elever som trenger en ekstra utfordring? Be dem finne funksjonsuttrykket til grafen som tegnes ved sporingen. Så kan de bruke dette til å beskrive hva som skjer når b varierer.

   La elevene arbeide i eget tempo. Bruk tid til å lytte til og snakke med elevene, oppmuntre dem til å samtale og diskutere seg imellom. Pass på at de kontrollerer alle løsningene sine ved å tegne i GeoGebra. Det finnes ingen annen fasit til disse oppgavene.

   Forberedelse til oppsummering
   På hvilke måter har elevene løst oppgavene? Har de brukt ulike strategier? Snakk med elevene og hør hvordan de tenkte da de løste oppgavene. Det bør bli tid til å diskutere i plenum løsningene på oppsummeringsoppgavene, i alle fall på noen av dem.
   Om elevene ikke blir ferdige med alle oppgavene, kan resten være lekse til neste gang.
   Så kan en oppsummering av løsningene være en repetisjon av det som elevene arbeidet med i dette opplegget.

   Hvis du ser at noen elever har gjort noe du gjerne vil at de andre elevene skal få innblikk i,så kan du avtale med dem på forhånd at de skal komme til tavla under oppsummeringen.
   Det er et viktig grep, spesielt dersom elevene ikke er vant til å presentere løsningene sine på tavla. Det kan føles tryggere for elevene når de på forhånd vet at de skal komme til tavla, og når de vet hva læreren ønsker at de skal presentere. Ved å avtale med noen elever på forhånd sikrer du at ulike metoder og strategier blir vist under oppsummeringen.
    

5. Oppsummeringsoppgaver:
   Du har gjennom dette arbeidet notert ned mange viktige ting om hvordan grafen forandrer seg når du varierer koeffisientene i en andregradsfunksjon. Bruk dette til å besvare følgende oppgaver:

   a) Tegn parabelen til funksjonen. g(x) = 2x² + 3x +1 Hva kan du gjøre med funksjonsuttrykket for at grafen skal få et toppunkt i stedet for et bunnpunkt?
   Skriv opp funksjonsuttrykket du foreslår. Kontroller ved å tegne i GeoGebra.

   b) Tegn grafen til h(x) = x² - 2x + 4 . Hva må du gjøre med funksjonsuttrykket for at grafen skal beholde formen, men skjære y-aksen i y = -1? Skriv det nye funksjonsuttrykket. Kontroller ved å tegne i GeoGebra.

   c) Hvordan vil en andregradsfunksjon til en graf som går gjennom origo, se ut? Skriv først et svar, og kontroller ved å tegne.

   d) Tegn grafen til j(x) = x² - 4x + 4 . Hvor mange nullpunkter (= punkter på x-aksen) har grafen? Hva kan du gjøre med funksjonsuttrykket for at grafen skal få to nullpunkter? Og hva kan du gjøre for at grafen ikke skal få nullpunkter i det hele tatt? Skriv forslag til funksjonsuttrykk som oppfyller disse to kravene, og kontroller ved å tegne i GeoGebra.

   e) Tegn grafen k(x) = 2x² + 2x . Hva kan du gjøre med funksjonsuttrykket for at grafen skal bli smalere / brattere? Skriv uttrykket. Kontroller ved å tegne.

   f) Tegn t(x) = x² - 2x + 3 . Hva kan du gjøre med funksjonsuttrykket for at denne grafen skal bli mer åpen / mindre bratt? Skriv en forklaring, og kontroller ved å tegne.

   g) Tegn u(x) = 2x² - 5x + 4 . Hva kan du gjøre med funksjonsuttrykket for at grafen skal flyttes lenger til venstre? Skriv en forklaring, og kontroller ved å tegne.