Andregradsfunksjoner I

Funksjoner - Introduksjon

Dette opplegget er hentet fra heftet: "Undersøkende matematikk - undervisning i videregående skole"

PC med GeoGebra. Konvolutter med kort – læreren må gjøre disse klar på forhånd. Kopieringsoriginal med uttrykk og utsagn som hører sammen. Klipp etter de stiplede linjene og legg et sett lapper i hver konvolutt. Skriv funksjonsuttrykket g(x) = 2x² - 8x + 6 utenpå konvoluttene. 

Kopioriginal

Dette er et introduksjonsopplegg hvor elevene blir kjent med funksjonsuttrykk, grafene til andregradsfunksjoner, viktige punkter på grafene, navn og begreper knyttet til andregradsfunksjoner. Utforskningsarbeidet gjøres med digitale hjelpemidler (GeoGebra).

Elevene skal også regne ut tabellverdier, de skal plotte punkter i et koordinatsystem og tegne graf for hånd.

La elevene arbeide parvis. Det er viktig å oppmuntre til samtale og diskusjon om faglig arbeid. Elevene skal skrive ned det de oppdager, både med ord og matematiske symboler.

Film

Undervisningsopplegget

1. Innled timen med å presentere målet for økta: at elevene skal bli kjent med andregradsfunksjoner og grafene deres, og med navn og begreper knyttet til andregradsfunksjoner.
    
2. Be elevene skrive eksempler på andregradsfunksjoner i boka si. De kan gjerne snakke sammen to og to. Elevene får 2–3 minutter på oppgaven. Deretter ber du dem presentere forslagene sine. Skriv forslagene på tavla. Du kan gjerne komme med egne eksempler.
   Be elevene om å skrive de presenterte eksemplene i boka si.

   Be elevene skrive ned hva som er kjennetegnet på en andregradsfunksjon og be dem deretter diskutere formuleringene sine to og to.

   Læreren må forsikre seg om at det blir tydelig at det er andregradsleddet som er kjennetegnet.

   Presenter noen faguttrykk
   Funksjon: Et matematisk uttrykk som beskriver en sammenheng mellom to størrelser.
   Funksjonens navn: På ungdomsskolen ble alle funksjoner skrevet på formen y = ax + b.
   Nå trenger vi en skrivemåte som er slik at vi kan skille funksjonene fra hverandre. Det er nyttig når vi tegner flere funksjoner i samme koordinatsystem i GeoGebra. Det er viktig at elevene blir klar over at vi kan gi funksjonen navn, og at vi da kan velge selv. Det er vanlig at navnet til en funksjon bare er en bokstav.
   Den fri variable, x: Vi kan fritt bestemme hvilken verdi x skal ha.
   Andregradsledd, førstegradsledd og konstantledd: Konstantledd og førstegradsledd er det samme som i førstegradsfunksjonen (sammenlikn).
   Koeffisienter: Dette begrepet er det greit å ha på plass til vi senere skal snakke om a, b og c i andregradsuttrykk.
    

3. Velg så ut to eller tre av funksjonene som er foreslått av elevene, og be dem tegne grafene i GeoGebra. Læreren kan selvsagt også supplere med eksempler, for eksempel hvis ingen elever har foreslått andregradsledd med negativ koeffisient.

   Flere faguttrykk
   Toppunkt / bunnpunkt
   Skjæringspunkt med y-aksen: Svarer til konstantleddet slik som i førstegradsfunksjonen, dvs. der x = 0
   Skjæringspunkt med x-aksen: Svarer til nullpunkter, dvs. der y = 0

   Be elevene skrive ned hva de mener er kjennetegn til grafen til en andregradsfunksjon, hva som er karakteristisk uansett hvilket funksjonsuttrykk som brukes. Etterpå diskuterer og vurderer dere forslagene i samlet klasse. Innfør navnet parabel på denne typen grafer.
    

4. Gi elevene konvoluttene som du har gjort ferdig på forhånd. For å finne fram til uttrykkene som hører sammen, må elevene kjenne funksjonen som oppgaven bygger på (skriv funksjonen utenpå konvolutten), og de må se grafen til funksjonen (bruk GeoGebra).
   Uttrykkene hører sammen i tripler, en av hver farge.

   Oppsummer arbeidet i fellesskap. Det er greit å få en oversikt over alle faguttrykk somhører til emnet, og at misforståelser kommer opp og blir korrigert.
    

5. Det er tid for å tegne en andregradsfunksjon på papiret:
   Bruk funksjonen som de allerede har studert.
   Be elevene lage en tabell, tegne koordinatsystem, plotte punkter og tegne graf. De har samme graf i GeoGebra og kan sammenlikne med den. Hvordan skal en parabel se ut der krumningen er størst? (Den skal ikke være spiss!)

   

   Merk: I oversikten over viktige begreper er ikke begrepene gyldighetsområde, definisjonsmengde og verdimengde tatt med. De bør føyes til vokabularet etter hvert.
   Men det kan være aktuelt å spørre allerede nå: Når grafen tegnes, hvor begynner den?
   Og hvor slutter den?
    

6. Flere øvingsoppgaver i å tegne grafer på papir.

   
   

   Oppsummering
   Timen avsluttes med at elevene oppsummerer i to kolonner på et blankt ark. Ta en kort muntlig oppsummering av det elevene har notert

   

   Videre arbeid
   I det videre arbeidet med andregradsfunksjoner og grafer er det naturlig å bruke både papir og blyant og graftegneprogram på PC-en (GeoGebra).

   For noen elever kan regning av tabellverdier og/eller plotting inn i koordinatsystemet bli for vanskelig. La disse elevene få bruke graftegneprogrammet, men pass på at eleven klarer å skrive inn funksjonsuttrykket riktig.

   Når man kommer til anvendelser der funksjonen beskriver noe konkret: Fokuser på forståelsen av sammenhengen mellom den konkrete situasjonen og forløpet av grafen.

Flere filmer fra heftet Undersøkende matematikkundervisning finner du her.