Uoppstilte ligningssett

Praktiske problemstillinger, likningssett

Dette opplegget er hentet fra heftet: "Undersøkende matematikk - undervisning i videregående skole"

Til oppgave 1: 2 vekter, skruer og muttere

Til oppgave 2: 40 fyrstikker og 24 tellebrikker

Arbeidsform
La elevene arbeide parvis. Det er viktig å oppmuntre til samtale og diskusjon om faglig arbeid. Elevene skal skrive ned det de oppdager, både med ord og matematiske symboler.
 

Undervisningsopplegget
På de neste sidene blir oppgavene til dette undervisningsopplegget presentert med kommentarer til læreren. Elevene skal samarbeide i par om å løse oppgavene. Oppgavene finner du som kopioriginal.

Før du gjennomfører opplegget, er det viktig at du tenker nøye gjennom hvilke spørsmål eller hint du kan gi til elevene dersom de får problemer. ikke gi elevene svarene. Opplegget forutsetter at læreren ikke forteller elevene hvordan de skal sette opp ligningssettene.

Film 

Introduksjon
Presenter planen for timene og læringsmålene. Elevene organiseres i par. Hvert par får utdelt en pose med skruer og muttere som er skrudd sammen. Det er ikke lov å skru delene fra hverandre.

Ikke fortell elevene at du har satt fram vekter ved tavla. La elevene finne ut selv at de er nødt til å få vite hvor mye de sammenskrudde skruene og mutterne veier.

Oppgave 1
Skruer og muttere
Utstyr: Hver gruppe får utdelt et sett med skruer og muttere.
Eksempel:

2 skruer og 1 mutter er skrudd sammen 

2 skruer og 2 muttere er skrudd sammen

Hvor mye veier en skrue? Hvor mye veier en mutter?
Det er ikke lov til å skru dem løs fra hverandre.

Kommentar til læreren
Gå rundt blant elevene og se hvordan de løser oppgaven. Bruker elevene likninger, eller tenker de systematisk uten å bruke likninger? Be elevene forklare hvordan de tenker: "Hvordan tenkte du?"

Noen sett med skruer og muttere er slik at det er ganske lett å finne svarene uten å sette opp en likning mens med andre sett er det vanskeligere. Hvis du kjenner klassen godt, kan du planlegge på forhånd hvilke elever som skal ha de ulike posene. La gjerne elevene bytte poser etter hvert som de finner vekten til skruene og mutterne i posen de har fått.

Utfordre elevene til å finne løsningen på flere måter:

• Dersom elevene har løst oppgaven uten å bruke likninger kan du først be dem forklare hvordan de har tenkt. Kan du sette opp likninger som viser sammenhengen mellom vekten av skruer og muttere? Kan du løse likningssystemet? Ser du noen sammenheng mellom de ulike metodene du har brukt? I så fall, kan du forklare denne sammenhengen? Gi elevene hint eller still gode spørsmål hvis det er aktuelt.
• Dersom elevene har løst oppgaven ved hjelp av likninger kan du først be dem forklare hvordan de har tenkt. Kan du finne en løsning ved å tenke systematisk uten å bruke likninger? Er det en sammenheng mellom måter å løse likninger på og praktisk tenking for å finne svarene? I så fall, kan du forklare denne sammenhengen? Gi elevene hint eller still gode spørsmål dersom det er aktuelt.
• Det er viktig at elevene finner egne måter å sette opp likningene på. Noen elever vil sannsynligvis bruke x og y for de ukjente, andre vil bruke s og m, mens noen kanskje vil skrive skruer og muttere. Det er viktig at elevene innser at de ikke alltid må bruke x og y, men at de kan bruke bokstaver som er logiske i forhold til oppgaven. Ved å bruke s og m kan det være lettere for mange elever å forstå hva likninger egentlig er.
• Hvis elevene spør om de har fått riktig svar, gir du dem en skrue og en mutter og ber dem veie dem selv for å sjekke løsningene sine.

Forberedelse til oppsummering
Det er to hovedmål med oppsummeringen. Det første målet er å vise at man kan finne løsningen på flere måter, og at det er en sammenheng mellom de forskjellige metodene. Det andre målet er å vise spesifikt at man kan sette opp et likningssystem og løse det, og at denne metoden kan illustreres, eller har sammenheng med å tenke systematisk med utgangspunkt i den praktiske oppgaven.
Vår erfaring er at addisjonsmetoden er den metoden som passer best til å forklare den praktiske systematiske tenkingen/resonneringen i denne oppgaven. Dersom opplegget brukes til repetisjon, tar du utgangspunkt i metodene elevene har brukt tidligere.

Hvis du ser at noen elever har gjort noe du gjerne vil at de andre elevene skal få innblikk i, så kan du avtale med dem på forhånd at de skal komme til tavla under oppsummeringen.
Det er et viktig grep, spesielt dersom elevene ikke er vant til å presentere løsningene sine på tavla. Det kan føles tryggere for elevene når de på forhånd vet at de skal komme til tavla og når de vet hva læreren ønsker at de skal presentere. Ved å avtale med noen elever på forhånd sikrer du at ulike metoder og strategier blir vist under oppsummeringen.

Felles oppsummering og diskusjon
Ta utgangspunkt i elevenes løsninger og det du har observert når du har gått rundt i klasserommet.
La elevene forklare hva de har gjort, og hvordan de har tenkt. Utnytt det de har funnet og forsøk å lage en struktur på det slik at de to målene med oppsummeringen blir nådd.

Oppgave 2
Griser og høns 

Utstyr: 40 fyrstikker og 24 brikker

På gården til Truls er det griser og høns. I følge Truls, har disse dyrene til sammen 40 ben og 24 øyne.

1. Finn ut hvor mange griser og hvor mange høns Truls har på gården sin, både ved hjelp av fyrstikker og brikker, og ved hjelp av likninger.
2. Anta deretter at et ukjent antall stålormer sniker seg inn på gården. Det totale antall øyne og ben er det samme som før. Hvor mange griser, hvor mange høns og hvor mange stålormer har Truls på gården sin nå?

Kommentar til læreren
Denne oppgaven har høyere vanskelighetsgrad enn oppgaven med skruer og muttere. Gå rundt blant elevene og se hvordan de løser oppgaven. Bruker elevene likninger eller tenker de systematisk uten å bruke likninger? Be elevene forklare hvordan de tenker: "Hvordan tenkte du?"

Utfordre elevene til å finne løsningen på flere måter:

• Dersom elevene har løst oppgaven uten å bruke likninger kan du først be dem forklare hvordan de har tenkt. Kan du sette opp likninger som viser sammenhengen mellom griser og høns? Kan du løse likningssystemet? Ser du noen sammenheng mellom de ulike metodene du har brukt? I så fall, kan du forklare denne sammenhengen? Gi elevene hint eller still gode spørsmål dersom det er aktuelt.
• Dersom elevene har løst oppgaven ved hjelp av likninger kan du først be dem forklare hvordan de har tenkt. Kan du finne en løsning ved å tenke systematisk uten å bruke likninger? Er det en sammenheng mellom måter å løse likninger på og praktisk tenking for å finne svarene? i så fall, kan du forklare denne sammenhengen? Gi elevene hint eller still gode spørsmål dersom det er aktuelt.
• Det er viktig at elevene finner egne måter å sette opp likningene på. Noen elever vil sannsynligvis bruke x og y for de ukjente, andre vil bruke g og h, mens noen kanskje vil skrive griser og høns. Det er viktig at elevene innser at de ikke alltid må bruke x og y, men at de kan bruke bokstaver som er logiske i forhold til oppgaven. Om de bruker g og h, kan det være lettere for mange elever å forstå hva likninger egentlig er.
• I oppgave 2 må elevene tenke logisk og prøve og feile, praktisk og/eller ved regning.

Forberedelse til oppsummering
Målet med oppsummeringen er å vise at man kan fi nne løsningen på flere måter, og at det er en sammenheng mellom de forskjellige metodene.

Felles oppsummering og diskusjon
Ta utgangspunkt i elevenes løsninger og det du har observert når du har gått rundt i klasserommet. La elevene forklare hva de har gjort og hvordan de har tenkt. Utnytt det de har funnet, og forsøk å lage en struktur på det slik at målet med oppsummeringen blir nådd.

Videre arbeid
Det er viktig at elevene arbeider med oppgaver fra læreboka etter å ha gjennomført dette undervisningsopplegget. Som vi har skrevet ovenfor: Velg oppgaver med ulik vanskelighetsgrad fra boka og la elevene velge, under veiledning av læreren, hvilke oppgaver (vanskelighetsgrad) de vil arbeide med. Hvor mange timer elevene skal arbeide med oppgaver fra boka, må vurderes for hver enkelt klasse.

Flere filmer fra heftet Undersøkende matematikkundervisning finner du her.