Speiling av mangekanter

GeoGebra, Kikora, speiling, symmetri, trekanter, firkanter, mangekanter.

Elevark, blanke ark, PC med GeoGebra og Kikora (må ha tilgang til internett).

Aktivitet 1

Elevene arbeider i par med elevarket som inneholder åtte forskjellige bilder. De skal tegne inn symmetrilinjer som gjelder for hele og deler av bildene. I en oppsummerende klassesamtale drøfter klassen begreper som speiling, speilbilde, symmetrilinje og speilingslinje.

Kommentar til læreren

Elevene kjenner til begrepet speiling så elevarket er tenkt som en oppfrisking.  Hver figur har minst én symmetrilinje. En symmetrilinje deler figuren i to nøyaktig like deler. Læreren sørger for å fremheve symmetrier som bare gjelder for deler av figuren/bildet. I garnnøstet, blomsten, jordbærbladet og edderkoppen finnes ikke en matematisk korrekt symmetri. Likevel vil vi oppfatte objektene som symmetriske.

Aktivitet 2

I denne aktiviteten skal elevene jobbe med første oppgaverekke på Kikora (fem oppgaver). De skal finne symmetrilinjene til forskjellige mangekanter. Målet med oppgaven er at elevene skal få bekreftet at de har forstått begrepet symmetrilinje og at en figur kan ha mange symmetrilinjer. En figur kan ha mer enn én symmetrilinje og elevene bruker glideren for å velge antall og for å ta bort overflødige linjer. Hvis de trykker på snurrehjulet, kan de starte oppgaven på nytt.

Kommentar til læreren

Kikora gir elevene riktig (et steg blir grønt) når elevene har plassert speilingslinjene slik at de også er symmetrilinjer. Det vil si at alle punkter på figuren speiles i andre punkter som også ligger på figuren. Vis speilbilde kan hjelpe elevene ved at de ser hvordan speilbildet endrer posisjon når de beveger speilingslinjen. Det er ikke nødvendig at elevene løser alle oppgavene før klassen samles til en samtale.  

Mulige spørsmål:

• Hva kjennetegner figurer som har symmetrilinjer?
• Hvorfor er diagonalene i rektangelet ikke en symmetrilinje?
• Hvorfor er diagonalene i sekskanten symmetrilinjer?

Aktivitet 3

Elevene jobber videre med oppgaverekke 2 på Kikora (seks oppgaver). I disse oppgavene skal elevene prøve å tegne speilbildet til gitte mangekanter. Det er ikke lett å tegne et korrekt bilde av mangekantene uten hjelpemidler. Elevene kan justere løsningen sin ved å dra i punktene. Når elevene har funnet en nokså god løsning, kommer det opp en fasit-knapp slik at elevene kan se den korrekte løsningen. Elevene kan da tilpasse figuren sin. La de gjøre det, men oppfordre dem til å prøve på nytt. Oppgavene skal gjøre elevene bedre til å visualisere speiling og til å tegne speilbilder uten å lage hjelpelinjer. Det er ikke nødvendig at alle elevene løser alle oppgavene siden det er samme type oppgaver, men med ulik vanskelighetsgrad.

Kommentarer til læreren

Oppgavene har stigende vanskelighetsgrad. Det er enklere på finne speilingspunktet til punkter som ligger nær speilingslinjen enn de som lengre unna. Derfor starter oppgaverekken med figurer som har en side eller et punkt på speilingslinjen. Hvis elevene synes det er vanskelig, kan de bruke en blyant eller hånden til hjelp. Eller kanskje det holder å snu litt på hodet?

Aktivitet 4

Elevene jobber med tredje oppgaverekke på Kikora (ett sett med avkryssingsoppgaver). De skal først lage en trekant og speile den med Speil objekt om linje. Så skal de bevege på figuren og svare på en flervalgsoppgave om egenskapene til speiling.   

Dette er første gang elevene har verktøyet Speil objekt om linje tilgjengelig i Kikora. Etter at de har svart på påstandene, skal hele klassen sammen bruke figuren til å bekrefte egenskapene til speiling. Vi anbefaler at læreren viser bildet på storskjerm samtidig som elevene arbeider i par på én PC. Målet er å vise at avstanden fra speilingslinjen til punkt og speilingspunkt er lik og at speilingslinjen står normalt på linjen mellom punkt og speilingspunkt (vinkelen mellom dem er 90°). Husk å dra i hjørnene til trekanten underveis for å se at egenskapene forblir uforandret.  

Avslutt klassediskusjonen med å utfordre elevene til å finne ut hvordan de kan få speilingslinjen til å være en symmetrilinje i trekanten. Det letteste er å først plassere et punkt på speilingslinjen. Så kan elevene dra i de to andre hjørnene inntil trekanten og speilbildet ligger oppå hverandre. 

Kommentarer til læreren

Forslag til fremgangsmåte: 

• Bruk Linjestykke mellom to punkt til å lage linjestykker mellom punkt og speilingspunkt. 
• Finn skjæringspunktene mellom linjestykkene og speilingslinjen ved å bruke Skjæring mellom to objekt. 
• Bruk Vinkel til å måle vinkelen mellom linjestykkene og speilingslinjen. 
• Finn avstanden mellom punkt og speilingslinje og mellom speilingspunkt og speilingslinje ved å tegne inn nye linjestykker og velge Avstand eller lengde. 

Ofte måler vi korteste avstand fra speilingslinjen til et punkt. Det kan være lærerikt for elevene å se at avstanden fra et punkt på speilingslinjen til punkt og speilingspunkt er lik, uansett hvor punktet er plassert på speilingslinjen. Dette er et eksempel på hvordan bruken av digitale hjelpemidler kan hjelpe elever til å se sammenhenger som er vanskelige å vise med papir og blyant.
 

Aktivitet 5

Denne aktiviteten er tenkt som en oppsummering. Elevene skal arbeide i det vanlige GeoGebra-programmet hvor arbeidsfeltet er større og flere verktøy er tilgjengelige. De skal bruke det de har lært om speiling til å speile en figur uten verktøyet Speil objekt om linje. Det er anbefalt at elevene arbeider parvis på hver sin PC. Da kan de diskutere underveis, samtidig som de får trening i å bruke GeoGebra. 

Læreren gir oppgaven skriftlig. 

• Åpne GeoGebra. Ta bort akser og rutenett.   
• Tegn en linje som skal være speilingslinjen. Linjen skal være på skrå (ikke horisontal eller vertikal). Gjør punktene usynlige. 
• Bruk Mangekant til å tegne en femkant på den ene siden av speilingslinjen. 
• Speil femkanten om speilingslinjen ved å bruke egenskapene til speiling (ikke Speil objekt om linje). Gi speilbildet en ny farge. 
• Dra i hjørnene til den originale femkanten. 
• Kontroller løsningen med Speil objekt om linje. 

Kommentarer til læreren

Ved å bruke egenskapene til speiling og grunnleggende geometriverktøy i GeoGebra, utvider elevene geometriforståelsen og kompetansen i GeoGebra samtidig. 

Elevene kan tegne speilbilder på ulike måter, basert på ulike geometriske egenskaper. Læreren bør notere hvilken løsningsmetode de ulike elevparene bruker og la elevene presentere et utvalg framgangsmåter for hele klassen som oppsummering av aktiviteten.  

Forslag til fremgangsmåter: 

Verktøy og tegning	Egenskapene til speiling	Fremgangsmåte
	Linjene mellom punkt og speilingspunkt står normalt på speilingslinjen og avstanden fra speilingslinjen til punkt og speilingspunkt er lik.
	Linjene mellom punkt og speilingspunkt står normalt på speilingslinjen og avstanden fra speilingslinjen til punkt og speilingspunkt er lik.